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REVISTA CON-CIENCIA N°1/VOL. 3 (2015) 77-86
Efecto de la interpolación respecto al error en una aplicación
ZOTA UÑO, VIRGINIA
CORRESPONDENCIA: VIRZOTAU@YAHOO.COM
FECHA DE RECEPCIÓN: 3 DE MARZO DE 2015 FECHA DE ACEPTACIÓN: 8 DE ABRIL DE 2015
Abstract
The article has the purpose of showing the alternative to adjustments or least squares, the polinominal interpolation, in topics of applica- tion in the area of the Biopharmaceutics and other areas of speciality, in the Pharmaceutical chemistry or Biochemical.
For the develops of very synthetic form lin- ear, exponential and quadratic fit to compare with the polinominal interpolation.
The latter is more suitable because it involves all the points with margin of mis- take zero, which does not happen when it is a question of adjustments and the situa- tion is worse if it is considered to determine the image of some point that does not form a part of the information taking a couple of points that they contain. In this case the ini- tial sample as such sense does not have, only there would be necessary to take a couple of next points as a sample.
1 Docente de la Facultad de Ciencias Farmacéuticas y Bioquímicas, Universidad Mayor de San Andrés.
Ajuste lineal, ajuste exponencial, ajuste cuadrático e interpolación polinómica.
KEY WORDS
Linear fit, exponential fit, quadratic fit and polynomial interpolation setting.
Dado un conjunto finito de puntos (no alineados en forma vertical) es po- sible ajustar mediante una recta, parábola o una exponencial; sin embargo, éstas sólo aproximan al conjunto de puntos y no necesariamente de una for- ma muy óptima, podría presentar errores bastante grandes.
En la interpolación, se representa al conjunto de puntos mediante un poli- nomio, que pasa por todos los puntos, en consecuencia el error es cero.
Cuando se trata de un ajuste lineal el interés es encontrar, su pendiente y la ordenada al origen, que sólo son próximos, además dependiendo de la caracte- rística de los puntos, éstas tendrán algo de utilidad en un subconjunto no para la totalidad. Mientras que en la interpolación al evaluar el polinomio en cero se obtiene su ordenada y la pendiente es la derivada del polinomio en cual- quier punto, pero la mayor ventaja es el trabajo con la totalidad de los puntos.
Para formalizar el comportamiento en ambos casos, consideremos el si-
guiente conjunto de puntos {(x , y )}n tal que los puntos no están alineados
i i i=0
en forma vertical (en un experimento al mismo tiempo no se obtiene dife- rentes resultados).
Se busca encontrar una recta que aproxime a todos los puntos {(x , y )}n ,
sea representada por la siguiente expresión:
i i i=0
Entonces con los n + 1 puntos se construye un sistema de ecuaciones li- neales de n + 1 ecuaciones con dos incógnitas.
PUNTO ECUACIÓN
. .
. .
El sistema de forma organizada y para efectos de aplicación se expresa de la siguiente forma:
Si el comportamiento de los puntos {(x , y )}n
presenta una característica ex-
i i i=0
ponencial, sus ordenadas son estrictamente positivas (y > 0), es conveniente em- plear ajuste exponencial Y=aebx con la finalidad de reducir el margen de error.
Para el objetivo la forma más natural es presentar como expresión lineal, esto será posible al aplicar logaritmos.
Luego el sistema de ecuaciones lineales en los puntos de la información es: PUNTO ECUACIÓN
. .
Al operar del mismo modo que en el caso correspondiente al ajuste lineal, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
Y = eln a ebx
Esta vez el objetivo es ajustar al conjunto de puntos {(x , y )}n mediante
una ecuación de segundo grado:
PUNTO ECUACIÓN
i i i=0
0 0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
. .
n n n n n
De manera análoga al realizado en el caso lineal, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
La solución a éste sistema proporciona los coeficientes a, b y c del polino- mio de segundo grado que ajusta los n + 1 puntos.
Como ya referimos la solución a los sistemas de ecuaciones lineales de- terminan los coeficientes de la recta, la exponencial o la parábola que ajusta, luego el error E es:
A diferencia de los ajustes encontrados para los n + 1 puntos que sólo aproximan, ahora se busca un polinomio de interpolación que pase por to- dos los puntos, en consecuencia el grado de éste será a lo más n, hecho que origina un sistema de n + 1 ecuaciones lineales con n + 1 incógnitas, esto es:
0 1 2 3 n
Luego el sistema generado por los puntos {(x , y )}n
es:
i i i=0
Punto Ecuación
PUNTO ECUACIÓN
0 0 0 1 0 2 0 3 0 n 0 0
1 1 0 1 1 2 1 3 1 n 1 1
2 2 2 1 2 2 2 3 2 n 2 2
3 3 0 1 3 2 3 3 3 n 3 3
. .
n n 0 1 n 2 n 3 n n n n
i
Algunos elementos útiles se encuentran en P(0) que es la ordenada al ori- gen y la pendiente se encuentra en la derivada del polinomio evaluada en cualquier valor xi.
Después de desarrollar unas cápsulas de 20mg de piroxicam en micropar- tículas, se realizó un estudio de velocidad de disolución en el que se obtuvie- ron los datos de las cantidades medias de fármaco disuelto que se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 1. Datos medios de cantidades disueltas de piroxicam.
Tiempo (min) | Q (mg) |
5 | 0,64 |
10 | 1,27 |
20 | 2,54 |
30 | 3,81 |
60 | 7,62 |
90 | 11,43 |
120 | 15,24 |
180 | 19,86 |
240 | 19,98 |
Sabiendo que el proceso de disolución sigue una cinética de orden cero, calcule la constante de disolución que rige el proceso.
Para mostrar de forma objetiva el comportamiento de ajustes e interpola- ción, se tomará un tiempo de 150 min., por ajuste lineal, recta por dos puntos próximos e interpolación polinómica.
Ajuste lineal
El sistema correspondiente a ajuste lineal es:
Luego a = 0.09142269838 y b = 1.485095858, por tanto la ecuación de la rec- ta que ajusta es:
Si x = 150, resulta Y = 15.19850061, con un error E = 51.93762917. Ordenada al origen 1.485095858 y pendiente 0.09142269838.
Puntos próximos a 150, a saber (120,15.24), (180,19.86) La recta determinada por éstas es: Y = 6 + 0.077x Luego si x = 150, por tanto Y = 17.55 con error E = 51. Ordenada al origen 6 y pendiente 0.077.
Interpolación polinómica
El sistema a resolver es:
Al resolver el sistema se obtiene:
Por consiguiente la expresión del polinomio de interpolación encontrado es:
En éste caso E = 0.
Algunos elementos relevantes:
La ordenada al origen es P(0) = 0.02068636501:
Para el ejemplo en consideración, la derivada es:
La pendiente para los diferentes tiempos dados son los siguientes:
Si la necesidad es de pronto saber la ordenada y pendiente en un tiempo al margen de los datos, es suficiente evaluar en el polinomio de interpolación y la derivada, encontremos éstos valores para tiempo = 150
La gráfica permite apreciar la diferencia entre ajustes e interpolación ade- más de considerar una recta entre dos puntos, para apreciar el margen de error que se comete.
La necesidad de aplicar a un conjunto de datos obtenidos a partir de una información, es necesario interpolar, saber la imagen de un determinado valor que no forma parte de la información original. Para éste efecto lo común que se hace es considerar un par de puntos próximos al valor para el que se desea in- terpolar, éste hecho exige que se descarte los demás puntos; por consecuencia, el margen de error es mayor inclusive al determinado por ajuste lineal u otro ajuste, entonces se encontrará una pendiente válida sólo el par en considera- ción y la ordenada al origen no tiene ninguna coherencia con la información.
Sin embargo, la determinación del polinomio de interpolación o en su caso splines, permite conseguir un polinomio que pasa por todos los puntos, por tanto, el error es cero, además de considerar toda la información. En éste caso para determinar la pendiente, es suficiente evaluar para el valor que se necesita conocer su pendiente, en la derivada del polinomio encontrado, y para encontrar la ordenada al origen basta evaluar el polinomio en cero.
Por consecuencia, la determinación del polinomio de interpolación, pre- senta mayor utilidad en su aplicación, inclusive para conocer el área determi- nado por los puntos.